An algebraic construction of quantum flows with unbounded generators
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Date
2015-02
Authors
Belton, Alexander C. R.
Wills, Stephen J.
Journal Title
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Volume Title
Publisher
Institut Henri Poincaré
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Abstract
It is shown how to construct ∗-homomorphic quantum stochastic Feller cocycles for certain unbounded generators, and so obtain dilations of strongly continuous quantum dynamical semigroups on C∗ algebras; this generalises the construction of a classical Feller process and semigroup from a given generator. Our construction is possible provided the generator satisfies an invariance property for some dense subalgebra A0 of the C∗ algebra A and obeys the necessary structure relations; the iterates of the generator, when applied to a generating set for A0, must satisfy a growth condition. Furthermore, it is assumed that either the subalgebra A0 is generated by isometries and A is universal, or A0 contains its square roots. These conditions are verified in four cases: classical random walks on discrete groups, Rebolledo’s symmetric quantum exclusion process and flows on the non-commutative torus and the universal rotation algebra.
Des cocycles de Feller stochastiques quantiques ∗-homomorphes sont construits pour certains générateurs non bornés, et ainsi nous obtenons des dilatations pour des semigroupes dynamiques quantiques fortement continus sur des C∗ algèbres. Ceci généralise la construction d’un processus de Feller classique et de son semigroupe à partir d’un générateur donné. Notre construction est possible à condition que le générateur satisfasse une propriété d’invariance pour une sous-algèbre dense A0 de la C∗ algèbre A et obéisse aux relations de structure nécessaires; les itérations du générateur, lorsqu’elles sont appliquées à une famille génératrice de A0, doivent satisfaire à une condition de croissance. De plus, il est supposé que soit la sous-algèbre A0 est engendrée par les isométries et A est universelle, ou bien A0 contient ses racines carrées. Ces conditions sont vérifiées dans quatre cas: marches aléatoires classiques sur les groupes discrets, le processus d’exclusion quantique symétrique introduit par Rebolledo et des flux sur le tore non commutatif et l’algèbre de rotation universelle.
Description
Keywords
Cpc semigroup , Feller cocycle , Higher-order Itô product formula , Non-commutative torus , Quantum dynamical semigroup , Quantum exclusion process , Quantum Markov semigroup , Random walks on discrete groups , Semigroup dilation , Strongly continuous semigroup
Citation
Belton, A.C.R. and Wills, S.J. (2015) ‘An algebraic construction of quantum flows with unbounded generators’, Annales de l’Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques, 51(1), pp. 349-375. https://doi.org/10.1214/13-AIHP578.